kgV- und ggT-Rechner mit Rechenweg
Das kleinste gemeinsame Vielfache (kgV) zeigt, wann sich wiederkehrende Abläufe erneut treffen. Der größte gemeinsame Teiler (ggT) ist die größte Einheit, die mehrere Werte ohne Rest teilt. Geben Sie 2 bis 8 positive ganze Zahlen zwischen 1 und 1 Milliarde ein.
Berechnen
Aufgaben, die kgV und ggT lösen
- kgV — wiederkehrende Abläufe: Kommt ein Bus alle 12 Minuten und ein anderer alle 18 Minuten, treffen sich ihre Fahrpläne alle 36 Minuten.
- kgV — Brüche addieren: Für 1/12 + 1/18 ist 36 ein gemeinsamer Nenner: 3/36 + 2/36 = 5/36.
- ggT — gleich lange Stücke schneiden: Aus 12 m und 18 m langen Abschnitten lassen sich höchstens 6 m lange gleiche Stücke schneiden.
- ggT — Brüche kürzen: 12/18 geteilt durch den ggT 6 ergibt 2/3.
So funktioniert die Berechnung
Bei der Primfaktorzerlegung wird jede Eingabe als Produkt von Primzahlen geschrieben. Das kgV verwendet den höchsten Exponenten jeder vorkommenden Primzahl. Der ggT verwendet nur Primzahlen, die in allen Zahlen vorkommen, und jeweils den niedrigsten gemeinsamen Exponenten. Der euklidische Algorithmus ist eine weitere effiziente Methode: Ein Zahlenpaar wird wiederholt durch den kleineren Wert und den Rest ersetzt, bis der Rest null ist.
Beispiel: 12 und 18
12 = 2^2 × 3 und 18 = 2 × 3^2. Für das kgV gilt der höchste Exponent je Primzahl: 2^2 × 3^2 = 36. Für den ggT zählen gemeinsame Primzahlen mit dem niedrigsten Exponenten: 2 × 3 = 6. Bei genau zwei Zahlen ist kgV × ggT gleich ihrem Produkt.
Ein häufiger Denkfehler
Für das kgV verwenden Sie den höchsten Exponenten jeder Primzahl, auch wenn sie nur in einer Zahl vorkommt. Für den ggT zählen nur gemeinsame Primzahlen und der jeweils niedrigste gemeinsame Exponent.
Häufige Fragen
Wie hängen kgV und ggT zusammen?
Für zwei positive ganze Zahlen a und b gilt: kgV(a,b) × ggT(a,b) = a × b. Für drei oder mehr Werte lässt sich diese Identität nicht einfach auf dieselbe Weise verallgemeinern.
Wie lautet das kgV teilerfremder Zahlen?
Wenn der ggT 1 ist, entspricht das kleinste gemeinsame Vielfache dem Produkt. 8 und 15 sind zum Beispiel teilerfremd; ihr kgV ist 120.
Kann ich den Rechner mit Brüchen verwenden?
Nein. Dieses Werkzeug akzeptiert nur positive ganze Zahlen. Für Rechnungen mit Brüchen verwenden Sie den Bruchrechner.
Kann der ggT größer als eine Eingabe sein?
Nein. Der ggT ist höchstens so groß wie der kleinste Eingabewert; das kgV ist mindestens so groß wie der größte.