Calculateur de PPCM et PGCD avec étapes
Le plus petit commun multiple (PPCM) indique quand plusieurs cycles se rejoignent à nouveau ; le plus grand commun diviseur (PGCD) est la plus grande unité qui divise plusieurs valeurs sans reste. Saisissez de 2 à 8 entiers positifs compris entre 1 et 1 milliard.
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Exemples de problèmes résolus par le PPCM et le PGCD
- PPCM — cycles qui se répètent : si un bus passe toutes les 12 minutes et un autre toutes les 18 minutes, ils se retrouvent toutes les 36 minutes.
- PPCM — addition de fractions : 1/12 + 1/18 utilise 36 comme dénominateur commun, soit 3/36 + 2/36 = 5/36.
- PGCD — découpe en morceaux égaux : les plus grands morceaux égaux obtenus avec des longueurs de 12 m et 18 m mesurent 6 m.
- PGCD — réduction de fractions : diviser 12/18 par le PGCD 6 donne 2/3.
Méthode de calcul
La factorisation en nombres premiers écrit chaque valeur comme un produit de nombres premiers. Le PPCM retient l’exposant le plus élevé de chaque nombre premier présent ; le PGCD ne retient que les facteurs communs à toutes les valeurs, avec leur plus petit exposant. L’algorithme d’Euclide est une autre méthode efficace pour trouver un PGCD : on remplace répétitivement une paire par la plus petite valeur et le reste, jusqu’à ce que le reste soit nul.
Exemple détaillé : 12 et 18
12 = 2^2 × 3 et 18 = 2 × 3^2. Pour le PPCM, on retient l’exposant le plus élevé de chaque facteur : 2^2 × 3^2 = 36. Pour le PGCD, on retient les facteurs communs avec leurs plus petits exposants : 2 × 3 = 6. Pour deux nombres seulement, PPCM × PGCD = leur produit.
Une confusion fréquente
Pour le PPCM, prenez l’exposant le plus élevé de chaque facteur premier, y compris ceux présents dans un seul nombre. Pour le PGCD, ne prenez que les facteurs communs, avec le plus petit exposant partagé.
Questions fréquentes
Quelle relation existe entre le PPCM et le PGCD ?
Pour deux entiers positifs a et b, PPCM(a,b) × PGCD(a,b) = a × b. Cette identité ne s’étend pas en multipliant simplement le PPCM et le PGCD de trois valeurs ou plus.
Quel est le PPCM de nombres premiers entre eux ?
Si le PGCD vaut 1, le plus petit commun multiple est le produit des nombres. Par exemple, 8 et 15 sont premiers entre eux, donc leur PPCM est 120.
Puis-je utiliser ce calculateur avec des fractions ?
Non. Cet outil accepte uniquement des entiers positifs. Pour effectuer des opérations sur des fractions, utilisez le calculateur de fractions.
Le PGCD peut-il dépasser l’un des nombres ?
Non. Le PGCD est inférieur ou égal à la plus petite valeur saisie ; le PPCM est supérieur ou égal à la plus grande.
Outil associé
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